ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.


Смотреть больше слов в «Современном энциклопедическом словаре»

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ →← ВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА

Смотреть что такое ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ в других словарях:

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII ст. многие знаменитые геометры, как, напр., Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Л... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

        математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов — переменных величин, зависящих ... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Вариационное исчисление — История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII столетия многие знаменитые геометры, как, например, Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: "Philosophiae naturalis principia mathematica", а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде <i>брахистохроны</i>, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером ("Меthod u s inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes..." 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. "Th é orie des Fonctions analytiques" и "Le çons sur le Calcul des Foncti ons"). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations). Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от <i>x</i>, которая, будучи подставлена вместо <i>у</i> в данную функцию <i>F</i> от <i>х</i>, <i> у</i>,<i> dy</i>/<i>dx</i>,<i> d</i><sup>2</sup><i>y</i>/<i>dx</i><sup>2</sup>..., дала бы интегралу наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что <i>х</i> <sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub>, а также и соответствующие им <i>у</i> <sub>1</sub> и <i>у</i> <sub>2</sub> имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет где <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub> суть абциссы данных точек. Другой пример: требуется провести такую кривую <i>y = f</i>(<i>x</i>) между двумя точками (<i>х</i> <sub>1</sub>, <i> у</i> <sub>1</sub>)<i> </i> и (<i>x</i><sub>2</sub>,<i> y</i><sub>2</sub>) на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси <i>X</i> -ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет: Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: <i>вариация</i> и <i>вариирование</i>. Предположим, что искомая функция <i>f</i>(<i>x</i>) найдена и что проведена кривая линия <i>y = f</i>(<i>x</i>), делающая интеграл <i>S</i> наибольшим или наименьшим. В функции <i>f</i>(<i>x</i>), кроме <i>x</i> заключается один или несколько <i>параметров</i>, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под <i>вариацией</i> от <i>у</i> подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты <i>у</i> есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через δ <i>у</i>. Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры <i>f</i>(<i>x</i>) суть α,<i> </i> β,<i> </i> γ; бесконечно малые приращения их означим через δα,<i> </i> δβ,<i> </i> δγ <i>.</i> Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить δ <i>у</i> так: δ <i>y = </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> α ] δα <i> + </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> β ] δβ <i> + </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> γ ] δγ <i>. </i> Следовательно, варьирование ординаты <i>у</i>, или <i>f</i>(<i>х</i>) может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой. При варьировании <i>f</i>(<i>х</i>) производные <i>у‘</i>,<i> y"</i> … от функции по <i>x</i> также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: δ <i>у‘</i>,<i> </i> δ <i>y"</i>,<i>…</i> Эти вариации производных можно представить так, например, δ <i>у‘</i>: δ <i>y‘ = </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> α <i>dx</i>) δα <i> + </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> β <i>dx</i>) δβ <i> + </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> γ <i>dx</i>) δγ а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс <i>x</i>,<i> </i> то можно переменить порядок действий получения производных по <i> x</i> и по параметрам; самые приращения δα,<i> </i> δβ,<i> </i> δγ от <i>x</i> не зависят, а потому: δ <i>y‘ = d</i>/<i>dx</i>[(<i>dy</i>/<i>d</i> α) δα <i> + </i>(<i>dy</i>/<i>d</i> β) δβ <i> + </i>(<i>dy</i>/<i>d</i> γ) δγ ]<i> = d</i> δ <i>y</i>/<i>dx </i>(<i>A</i>)<i>. </i> Точно так же можно показать, что: δ <i>y" = d</i><sup>2</sup> δ <i>y</i>/<i>dx</i><sup>2<i> </i></sup>,…(<i>A</i><sub>1</sub>)<i> </i> и т. д. При варьировании <i>у</i>, функция <i>F</i>(<i>x</i>, <i>y</i>, <i> у‘</i>, <i> у"</i>,<i>... </i>)<i> </i> получает приращение, равное: Δ <i>F = F</i>(<i>x</i>,<i> y + </i> δ <i>y</i>,<i> y‘ + </i> δ <i>y‘</i>,…)<i> — F</i>(<i>x</i>,<i> y</i>,<i> y‘</i>,…)<i>. </i> Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций δ <i>y</i>,<i> </i> δ <i>y‘</i>,<i> </i> δ <i>y".</i> Вариацией первого порядка функции <i>F</i> называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>y‘</i>,<i> </i> δ <i>y<sup>"</sup></i> … Эта вариация первого порядка от <i>F</i> обозначается также знаком δ, так что δ <i>F = </i>(<i>dF</i>/<i>dy</i>) δ <i>y + </i>(<i>dF</i>/<i>dy‘</i>) δ <i>y‘ + </i>(<i>dF</i>/<i>dy"</i>) δ <i>y" + </i>… Удвоенную сумму тех членов приращения <i>F</i>, которые заключают вторые степени и произведения вариаций δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>у"</i>… по две, называют вариацией второго порядка от функции <i>F</i> и обозначают ее так: δ <sup>2</sup><i>F. </i> Если составить выражение приращения, получаемого интегралом (<i>S</i>), при варьировании ординаты <i>у</i> , то найдем, что оно равняется интегралу от Δ <i>F</i> и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла <i>S</i>: Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка: Составленное выражение δ <i>S</i> может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только δ <i>у</i>, но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (<i>А</i>),<i> </i>(<i>А</i> <sub>1</sub>) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по <i>x </i> от δ <i>у</i>. Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что δ <i>у</i> <sub>1</sub><i> = </i> 0 и δ <i>у</i> <sub>2</sub><i> = </i> 0 (так как <i>y</i><sub>1</sub> и <i>у</i> <sub>2 </sub> имеют данные постоянные значения), получим: где (<i>F</i>)<i> = dF</i>/<i>dy — d</i>/<i>dx</i>(<i>dF</i>/<i>dy‘</i>)<i> + d</i><sup>2</sup>/<i>dx</i><sup>2</sup>(<i>dF</i>/<i>dy"</i>) Для того, чтобы интеграл <i>S</i> был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы δ <i>S</i> была равна нулю, какою бы функцией от <i>x</i> ни была δ <i>у</i>; а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций δ <i>у</i> возможно только тогда, когда (<i>F</i>) <i>= </i>0<i>.</i> Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция <i>у</i> = <i>f</i>(<i>x</i>), делающая <i>S</i> наибольшим или наименьшим. Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению: из которого следует, что <i>у‘</i> = <i>С</i> и <i>у</i> = <i>Сх + С</i> <sub>1</sub>,<i> </i> где <i>С</i> и <i>C</i><sub>1</sub> — постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия — прямая. Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией. С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл <i>S</i> наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс ("Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii", "Gesammelte Werke" Bd. V); Пуассон (в "M émoires de l‘Acadé mie des Sciences", vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский ("M é moire sur le calcul des variations des integrales multiples", в "Mem. de l‘Acad. des Sciences de S-P é tersb." 1838; "Crelle‘s Journal", vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби ("Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen", в "Gesam. Werke", т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариационного исчисления может служить: "Calcul des Variations р. Moigno et Lindel ö f" (1861, четвертый том "Le ç ons de Calcul differentiel et integral p. Moigno"). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: "A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century", 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона. <i> Д. Бобылев. </i><br><br><br>... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

раздел мате-.матики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

численные методы - раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов. Численные методы В. и. приня... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕраздел математики, занимающийся решением задач, связанных с отысканием экстремальных значений; одной из таких задач является нахождение кривой, обращающей некоторую величину в минимум (или в максимум). И.Ньютон решил задачу такого типа, найдя форму поверхности вращения, при которой тело, двигаясь в сплошной среде, испытывает наименьшее сопротивление. Свои результаты Ньютон изложил в Математических началах натуральной философии (1687). В 1696 И.Бернулли сформулировал задачу о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска: найти траекторию, соединяющую две точки в вертикальной плоскости, двигаясь по которой материальная частица под действием только силы тяжести переместится из одной точки в другую за кратчайшее время. Различными методами и независимо друг от друга И.Бернулли и его брат Якоб доказали, что такой кривой является циклоида. Общая задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы среди всех непрерывных дуг y = y(x), соединяющих две точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) плоскости и имеющих непрерывно поворачивающиеся касательные, найти такую дугу, для которой не обращающийся в бесконечность интегралпринимал экстремальное значение. В 1744 Л.Эйлер опубликовал теорему, ставшую основой всего вариационного исчисления: всякая функция y, обращающая в минимум или максимум интеграл J, должна удовлетворять дифференциальному уравнениюДругие необходимые условия были открыты А.Лежандром в 1786, К.Якоби в 1837 и К.Вейерштрассом. В 1879 Вейерштрасс доказал ряд достаточных условий, позволяющих установить, доставляет ли та или иная дуга экстремальное значение интегралу J.Наглядным примером применения общей теории вариационного исчисления на плоскости служит задача о нахождении поверхности вращения с минимальной площадью, которая была изучена одной из первых. Любая дуга y = y(x), соединяющая две точки P1 и P2 на плоскости xy, порождает поверхность вращения вокруг оси x, площадь которой равнаМинимизирующая дуга должна принадлежать двупараметрическому семейству цепных линийкоторое является общим решением уравнения Эйлера. Существование минимума проверяется с помощью теоремы Вейерштрасса о достаточном условии. Такую минимальную поверхность можно наглядно продемонстрировать посредством соответствующих физических приспособлений. Изготовим проволочную рамку, в которой осью x служит проволока, соединяющая центры двух колец с радиусами y1 и y2; каждое кольцо расположено в плоскости, перпендикулярной оси x. Если такую рамку опустить в мыльный раствор и затем вынуть, то оставшаяся на ней мыльная пленка примет форму минимальной поверхности, порожденной цепной линией (кольца должны находиться на небольшом расстоянии друг от друга).Рассматривались различные модификации этой простейшей задачи на плоскости. Концы дуги, один или оба, могут быть подвижными, как в задаче о нахождении кратчайшего расстояния между двумя кривыми на плоскости. Подробно изучалась задача о нахождении дуги y = y(x), для которой интеграл J принимает экстремальное значение, в то время как другой интегралостается постоянным. К задачам этого типа относится задача о нахождении плоской кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь. Такой кривой является окружность, но строгое доказательство этого утверждения непросто.В 1806 Ж.Лагранж обобщил полученные ранее результаты на случай (n + 1)-мерного пространства. Он сформулировал задачу следующим образом: среди непрерывных и имеющих непрерывные первые производные дуг yi = yi(x), i = 1, ..., n, соединяющих две точки P1(x1, y1(x1), ..., yn(x1)) и P2(x2, y1(x2), ..., yn(x2)) и удовлетворяющих множеству независимых уравнений ???(x, y1, ..., yn) = 0, ? = 1, ..., m &lt; n, найти такую, для которой не обращающийся в бесконечность интегралпринимает экстремальное значение. Эта задача имеет многочисленные приложения в физике и механике. Современные математики рассмотрели и другие обобщения общей задачи вариационного исчисления и посвятили им множество работ.... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕматематическая наука, имеющая целью исследование изменений, происходящих в функции, если переменные, входящие в состав её, получ... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.<br>... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ , раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

(от лат. variatio - изменение) - раздел математики, посвящённый нахождению наибольших и наименьших значений функционале в перем. величин, зависящих от ... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

- раздел математики, посвященный нахождениюнаибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбораодной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). Кчислу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрическиезадачи.... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

раздел мате матики, посв. нахождению наиб. и наим. значений перем. величин, зависящих от выбора одной или неск. функций (такие величины наз. функционал... смотреть

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

variational calculation, calculus of variations* * *variational calculus

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

&LT;math.&GT; calculus of variations

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

варіаційне обчислення.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

варыяцыйнае злічэнне

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

вариациялық есептеу

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЦЕЛОМ

раздел математики, в к-ром применяются топологич. понятия н методы для качественного исследования вариационных задач - существование и оценка чи... смотреть

T: 188